Akustik

ein Referat über die physikalischen Gegebenheiten in der Musik
von Ulrich Viefhaus

Vorwort

Warum ich dieses Thema gewählt habe:
Ich habe ein sehr großes Interesse für Naturwissenschaften und speziell für Mathematik und Physik. Deshalb habe ich mich für die Akustik entschieden, da sie die beiden Gebiete Musik und Physik verbindet.

Dieses Referat deckt keineswegs alle Bereiche der Akustik ab und das soll es auch nicht. Ich wollte damit nur die grundlegenden Prinzipien und Methoden veranschaulichen, die in der Akustik und Klanganalyse angewendet werden und einen Überblick über dieses Thema geben.

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I. Grundbegriffe der Akustik

    a)Schwingungen und Sinusschwingungen
    b)Überlagerungen und Superposition
    c)Oberschwingungen
    d)Dämpfung
    e)Schwebung und Kombinationstöne
    f)Resonanz

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a.  (Sinus-)Schwingungen

Es wurde angesprochen, dass die Ursache eines Tones eine Schwingung ist.
Diese Schwingung ist allerdings oft so schnell, dass wir sie mit bloßem Auge nicht erfassen können. Wenn man die Schwingung fortwährend aufzeichnet, ergibt sich im optimalen Fall eine Sinuskurve. Die Sinusschwingung ist die einfachste aller Schwingungen, aus ihr lassen sich auch alle anderen Schwingungsformen ableiten. Der größte Ausschlag des schwingenden Punktes wird als Amplitude (a) bezeichnet, die Größe zu einen bestimmten Zeitpunkt festgestellte Entfernung zur Ruhelage Elongation (e). Die größte Elongation entspricht der Amplitude. Die Frequenz (f) gibt die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde an [eine Schwingung pro Sekunde = 1 Hertz( Hz)]. Die Periode (T) gibt die Dauer einer einzelnen Schwingung, also die Schwingungsdauer an. Die Amplitude ist zuständig für die Lautstärke und die Frequenz für die Höhe oder Tiefe des Tones.

b.  Das Zusammentreffen verschiedener Sinusschwingungen: Überlagerungen (Superposition)

In dieser Reinheit kommen die Sinusschwingungen in der Musik kaum vor. Normalerweise entstehen mehrere Sinusschwingungen gleichzeitig und verändern einander. So entstehen resultierende Kurven, die meist nicht mehr Sinusförmig sind. Eine solche Resultierende kann man graphisch darstellen, indem man die zur gleichen Zeit vorhandenen Elongationswerte algebraisch addiert. Meist setzen die aufeinandertreffenden Sinusschwingungen nicht gleichzeitig ein, es gibt also eine Phasenverschiebung. Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Sinusschwingung sichtbar zu machen: Beim Anschlagen einer Stimmgabel kann man die Vibration dieser fühlen. Wenn man sie mit einer Schreibvorrichtung versieht und man sie über ein Papier zieht, erhält man eine Schwingungskurve. Da diese Methode aber sehr primitiv ist, werden zur Untersuchung von Tönen Mikrophone und Oszillographen zu Hilfe genommen.

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c.  Oberschwingungen

Bei Saitenschwingungen kann die Saite als Ganzes oder in einzelnen Teilen schwingen, und zwar so, dass zwei, drei, vier ... Teile schwingen. Bei Saitenschwingungen können nun die Schwingungen der ganzen Saite und ihrer Teile gleichzeitig erfolgen. Die Zahl und Art der Obertöne ist charakteristisch für ein Instrument. Die entstehenden Frequenzen betragen das zwei, drei, vier ... -fache der ganzen Saite. Es handelt sich um Oberschwingungen, die im ganzzahligen Verhältnis  zur Grundfrequenz stehen und ein Vielfaches dieser betragen. Obertöne werden in natürlicher Reihenfolge gezählt, wobei der zweite Oberton doppelt so hoch, der zweite dreimal so hoch, der dritte viermal so hoch ... wie die Grundfrequenz ist. Grund- und Obertonschwingung zusammen werden auch mit Partialtönen bezeichnet, wobei der Grundton der erste Partialton, der erste Oberton der zweite Partialton ... ist.

 

d.  Gedämpfte und ungedämpfte Schwingungen

Wenn man eine Seite anzupft, beginnt sie zu schwingen. Diese Schwingung wird, wenn man die Seite sich selbst überlässt, mit der Zeit immer kleiner, bis sie schließlich ganz aufhört. Man spricht hier von gedämpften Schwingungen. Diese Dämpfung entsteht durch den Luftwiderstand und Reibung. Wenn man einer Seite, wie beim Anstreichen einer Seite, aber ständig Energien zuführt und so die Reibung ausgleicht, spricht man von einer ungedämpften oder auch stationären Schwingung. Mit dem Dämpfungsverhältnis bezeichnet man den Quotienten zweier aufeinanderfolgenden Amplitudenwerte a1 und a2, die ja unterschiedlich sind. Das Dempfungsdekrement (d) bezeichnet man das logarithmische Verhältnis beider Werte:  d=ln*a1/a2
Dieses logarithmische Dekrement wird in Neper ausgedrückt.

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e.  Schwebungen und Kombinationstöne

Beim Zusammentreffen von Schwingungen können nun besondere Zustände eintreten:

Schwebungen: Wenn zwei Schwingungen mit geringem Frequenzabstand aufeinander einwirken, so kann das Ohr die beiden nicht mehr auseinander halten und nimmt sie nur noch als einen Ton wahr. Dieser schwankt allerdings regelmäßig in seiner Stärke: Er schwebt. Die Schwebungsfrequenz, also die Zahl der Schwankungen in der Sekunde, ist abhängig von dem Abstand der Ausgangsfrequenzen. Je geringer dieser ist, desto langsamer schwebt der Ton, bis er bei Gleichheit dieser völlig verschwindet.

Kombinationstöne: Wenn zwei aufeinander einwirkende Töne einen größeren Frequenzabstand haben, so entsteht zwar keine Schwebung mehr, aber es können sogenannte Kombinationstöne zu hören sein. Kombinationstöne sind Töne, die als Differenz- und Summationstöne erscheinen. Hierbei werden die beiden Frequenzen zu einem neuen Ton addiert, oder der neue Ton erscheint als Differenz dieser. Solche Kombinationstöne können gleichzeitig mit den beiden Ausgangstönen erscheinen. Sie entstehen aber erst im Ohr und hängen stark von den jeweiligen Ohreigenschaften ab.

f.  Erzwungene Schwingungen oder Resonanz

Wenn eine Schwingung auf ein ebenfalls schwingungsfähiges System einwirkt, tönt dieses mit. Dies ist eine erzwungene Schwingung, die um so größer ist, je mehr die anregende Schwingung der Eigenschwingung des zweiten Systems entspricht. Bei einer Frequenzgleichheit, oder Resonanz, ist die Amplitude der erzwungenen Schwingung am größten. Dabei handelt es sich um eine scharfe Abstimmung, bei der die Dämpfung des Systems recht gering ist. Wenn man die Amplitude der erzwungenen Resonanz in Abhängigkeit zur Ursprungsfrequenz als Kurve aufzeichnet, so ergibt sich eine Resonanzkurve. Die Art der Resonanz ist abhängig von der Dämpfung, wobei eine kleine Dämpfung eine scharfe Resonanz und eine große Dämpfung eine flache Resonanzkurve zeigt.

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II. Das Schallfeld

    a)Wellen
    b)Größen im Schallfeld
    c)Gestörte Schallausbreitung
    d)Physikalische Vorgänge und das Hören

a.  Wellen

Wenn Schalwellen auf ein schallleitendes Medium treffen und dort einwirken, so entstehen dort Störungen. Denn es entstehen ständige Druckunterschiede, nämlich Verdünnungen und Verdichtungen, die sich im Schallfeld, wie das die Schwingung umgebende Medium auch genannt wird, als fortschreitende Wellen fortpflanzen. Man unterscheidet zwischen den Longitudinalwellen, bei der die Bewegung der schwingenden Teilchen in Fortpflanzungsrichtung erfolgt, und den Transversalwellen. Bei diesen erfolgt die Teilchenbewegung senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung. Die Fortpflanzung des Schalls in der Luft geschieht mittels Longitudinalwellen, wobei die Schallgeschwindigkeit bei 0°Temperatur c0 = 331,45 m/s beträgt.
Die Schwingung legt einen bestimmten Weg zurück, den man wieder mit einer Kurve darstellen kann. Diese besitzt wieder Wellental und Wellenberg, steht aber nicht in Abhängigkeit zur Zeit, sondern zum Raum. Die Wellenlänge wird hierbei in l angegeben. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit (c) des Schalls ist von l und Frequenz f abhängig. Wenn man die Wellenlänge l f-mal aneinanderreiht, so erhält man die Schallgeschwindigkeit.

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b.  Die Größen des Schallfeldes

Ein schwingender Körper gibt an das umgebende Medium Schallenergie ab. Diese Energie nennt man Schallleistung. Bei ungestörtem Schallverlauf breitet sich der Schall kugelförmig aus, weshalb die Schallstärke auch proportional dem Quadrate der Entfernung der Schallquelle abnimmt. Es gibt folgende Größen im Schallfeld:

Die Schallstärke oder Schallintensität J: Die Energiestromdichte gibt die in der Sekunde durch 1cm3 des schalleitenden Mediums hindurchtretende Schalleistung oder Schallenergie an.

Der Schalldruck P: Er gibt die periodische Druckschwankung (Wechseldruck) an.

Die Schallschnelle s: Die Schallschnelle gibt die Geschwindigkeit der Mediumteilchen gemessen in cm/sec an.

Das Schallfeld kann bestimmt werden, wenn der zeitliche Verlauf einer dieser drei Größen bekannt ist.

Relative Einheiten
Oft wird in der Akustik nicht die absolute Größe sondern die relativen Größen zueinander hergenommen, um ein Schallfeld zu bestimmen. Hierbei wird das logarithmische Maßsystem verwendet, da es den zu bewältigenden großen Bereich besser erfasst und besser den Eigenschaften des Ohres entspricht. Die Einheiten heißen Bel (Dezibel) und Neper und stellen das logarithmische Verhältnis zweier akustischer Größen dar. Bel ist auf dem Briggschen Logarithmus mit der Basis 10 aufgebaut und wird für Energieen (Schallstärke) benutzt. Ein Dezibel (db) ist der 10. Teil eines Bel. Die Einheit Neper baut sich auf dem natürlichen Logarithmus (1n) auf und wird zur Darstellung von Amplituden, also Schalldruck oder Dämpfungen, verwendet.

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c.  Gestörte Schallausbreitung

Bei einer Störung des Schalls treten je nach Art dieser unterschiedliche Effekte auf. Im einfachsten Fall wird der Schall auf einer geraden Fläche reflektiert. Hierbei gilt ebenso wie in der Optik: Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel. Dies tritt aber nur ein, wenn die reflektierende Fläche gegenüber der Wellenlänge groß ist, wenn die Fläche aber klein gegenüber des auftreffenden Schallstrahls ist, entsteht nur eine Beugung und der Schall wird gekrümmt. Tiefe Töne haben eine längere Wellenlänge als hohe Töne, daher werden sie bei kleineren Flächen leichter gebeugt, als die hohen. So merkt man, dass tiefe Töne um eine Säule leichter herumwandern als hohe, wodurch man hinter einer Säule die Tiefen zwar noch gut hören kann, aber die Höhen fast gar nicht mehr.

Die Schallbrechung
An den Grenzen zweier Medien erfährt der Schall eine Richtungsänderung. Dieser Brechungseffekt entsteht bei verschiedenen Lufttemperaturen, verschiedenen Luftgeschwindigkeiten und durch verschiedene Dichten der Luft.

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d. Physikalische Vorgänge

Beim Hören kann man Töne in drei Dimensionen aufteilen: Höhe, Lautstärke und Klangfarbe. Während Höhe und Lautstärke bei jedem Instrument verändert werden kann und bei allen Instrumenten vorkommen, ist die Klangfarbe charakteristisch für ein Instrument. Wenn man versucht diese Dimensionen in Beziehung zu physikalischen Vorgängen zu bringen, so zeigt sich , dass die Tonhöhenempfindung von der Frequenz, die Lautstärke von der Amplitude und die Klangfarbe von der Form der Schwingung abhängig sind. Diese Abhängigkeit unterliegt allerdings bestimmten Gesetzen. Tiefe Frequenzen ergeben tiefe Töne und hohe Frequenzen ergeben hohe Töne. Frequenzen und Tonhöhen verlaufen aber nicht parallel zueinander, sondern unterschiedlich. Der Kammerton a hat die Frequenz 440Hz. Der Ton a2, der eine Oktave höher liegt, hat die Frequenz 880Hz und a3, der wiederum eine Oktave höher liegt,  eine Frequenz von 1760 Hz. Beim Hören nehmen wir hier immer das gleiche Intervall (entsprechend der Zahlenreihe 1:2:3:4:5 ... ) wahr. Bei den Frequenzen aber ergibt sich die Zahlenreihe 1:2:4:8:16 .... Also ergibt eine gleiche Zunahme der Werte, wie sie in der Zahlenreihe 1:2:3:4:5 für das Hören stehen, für die Frequenzen den Logarithmus ihrer Zahlenreihe. Auch bei Schallstärke und Hören der Lautstärke herrschen logarithmische Beziehungen. Diese sind allerdings komplizierter und stimmen nicht immer genau, es gibt also kleine Abweichungen. Noch komplizierter werden die Beziehungen zwischen den Klangfarbenhören und der dazugehörigen Schwingungskurve des Klanges.

Hierbei dürfte von logarithmischen Beziehungen aber keine Rede mehr sein und Vergleiche zwischen Klangempfinden und Schwingungskurve kann man nur durchführen, wenn man den Klang vorher genau analysiert und einfache Schwingungen zerlegt, denn mit der Kurve allein kann man wenig anfangen. Man kann jede Schwingung in einfache Sinusschwingungen zerlegen und in einem Spektrogramm darstellen, dass heißt man stellt die gewonnenen Amplituden entsprechend ihrer Frequenzen als senkrechte Balken dar. Mit Hilfe eines solchen Spektrogrammes kann man einen recht guten Überblick über Größe und Verteilung der Obertöne und somit auch über die Klangempfindung, da ja die Stärke, Verteilung und Art der einem Grundton beigemischten Obertönen abhängig ist, erlangen. Normalerweise stehen Obertöne in einem zahlenmäßigem Verhältnis zu dem Grundton und ändern ihre Frequenz mit ihm. Wenn der Grundton höher wird, werden auch die Obertöne höher, und zwar so, dass sie ihr zahlenmäßiges Verhältnis zum Grundton beibehalten. Außer diesen gibt es auch Obertonbereiche die sich nicht oder kaum ändern. Diese sind meist vom Resonator abhängig. Manche Resonatoren überlagern die Grundfrequenz mit zusätzlichen Frequenzen, die von der Form und dem Material des Resonators abhängen. Bei Untersuchungen wurde auch festgestellt, dass die Ausgleichsvorgänge eine wichtige Rolle beim Klangempfinden spielen. Ein Ton muss sich erst aufbauen, wenn er ertönt, und schwingt nach Abbruch der Energiezufuhr aus. Ohne diese Merkmale fiel es Testkandidaten sehr schwer oder sie schafften es gar nicht Töne den richtigen Instrumenten zuzuordnen.

Es ist wesentlich schwieriger, Ausgleichsvorgänge darzustellen, als stationäre. Hierfür gibt es vier Methoden:

Die zeitliche Darstellung des Aufbaues der einzelnen Komponenten.

Die spektrale Darstellung einer Reihe aneinander folgender Augenblicke. Dazu eignet sich besonders gut eine Filmdarstellung.

Eine Reliefartige Darstellung

Die Oktavsieboszillographie. Hier wird die zeitliche Entwicklung einzelner Obertonbereiche oszillographisch erfasst.

Bei der spektralen Klangdarstellung wird jetzt nicht mehr mit Balken gearbeitet, sondern es wird eine Hüllkurve (kontinuierliches Spektrum) eingesetzt, die die einzelnen Obertöne nur andeutet. Allgemein betrachtet klingen obertonlose Klänge dumpf, stumpf und reizlos. Bei überwiegend tiefen Obertönen wirkt der Klang weich, wenn höhere dazukommen schärfer und brillant. Bei überwiegend hohen und sehr hohen Teiltönen wirkt der Klang rau, scharf und durchdringend. Ungeradzahlige Obertöne ergeben eine hohe, nasale Klangfarbe. Unharmonische Teiltöne verursachen metallischen Klang, der häufig schwirrt oder geräuschähnlich wird. Reine Sinusformen klingen weich und unkräftig, in höheren Tonlagen schärfer und spitzer. Erscheinen beim Einschwingvorgang erst die tiefen und dann die hohen Teiltöne, so klingt der Einstieg weicher. Erscheinen zuerst die Höhen so ist der Einsatz schärfer.

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III.  Die Klanganalyse

Wie schon erwähnt hängt die Klangfarbe stark von der Anzahl, Verteilung und Stärke der Obertöne ab. Die dem Grundton beigemischten Obertöne sind aber meist nicht ohne weiteres zu erkennen, da alle Einzelchwingungen zu einer resultierenden Schwingung zusammengefasst werden. Solche Schwingungen sind bei jedem Musikinstrument äußerst komplex und sind charakteristisch für dieses. Es ist allerdings möglich die Klangkurve wieder in Oberschwingungen zu zerlegen. Anfangs wurden die Frequenzen mathematisch analysiert. Diese Methode war allerdings sehr zeitraubend und ungenau. Mit der Entwicklung der Elektroakustik war es möglich automatische Analysen durchführen zu lassen. Die einzelnen Verfahren unterscheiden sich in ihrer Genauigkeit und ihrer Geschwindigkeit. Generell gilt, je schneller ein Verfahren ist, desto ungenauer ist es auch. Die wichtigsten Verfahren:

Die Suchtonanalyse: Hier wird der Klang mit einem Suchton überlagert, der alle Frequenzen von der tiefsten bis zur höchsten nacheinander abdeckt. Sobald die Frequenz eines Obertons erreicht wird, bildet sich ein Differenzton mit der Stärke des Suchtons. So kann man sowohl Frequenz, als auch ungefähre Amplitude des Obertons feststellen. Dafür ist die Suchtonanalyse relativ langsam.

Die Resonanzverfahren: Der Klang trifft entweder auf mechanische oder elektrische Filter. Gemessen wird bei dieser Methode die Resonanz der einzelnen Filter. Das bedeutet, je mehr Filter vorhanden sind und um so größer ihre Trennschärfe ist, desto genauer arbeitet das System. Aus technischen Gründe kann man nur eine begrenzte Anzahl an Filtern einsetzen. Das Verfahren ist sehr schnell.

Die Oktavsieboszillographie: Hier werden mehrere Oszillographen hintereinandergeschaltet, die dann verschiedene Obertonbereiche erfassen und aufzeichnen. Das System ist zwar sehr schnell, aber auch sehr ungenau, da nicht einzelne Obertöne sondern nur Obertonbereiche erfasst werden.

Die Beugungsverfahren: Hierbei moduliert der zu untersuchende Schall eine Hochfrequenz von 45000 Hz und wird mit einem akustischem Beugungsgitter analysiert. Zwar ist die Analysierzeit sehr kurz, dafür ist die Trennschärfe der einzelnen Komponenten aber ziemlich gering.

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IV. Quellen und Links

Wilhelm Stauder: Einführung in die Akustik
Juan G. Roederer: Physikalische und psychoakustische Grundlagen der Musik

Physlets:
Physlets-Hauptseite
Transversal- und Longitudinalwellenmodell
Seitenschwingungen
Schwebungen

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